Вывод формулы аннуитетного платежа

Вывод формулы аннуитетного платежа

ОАП выражаются в процентах или долях от суммы кредита

ААП в денежных единицах (рубли, доллары. ).
ААП равен произведению ОАП на Сумму Кредита (СК)

Вывод формулы ОАП/ААП

Исходные данные, обозначения и сокращения:
CК = 1 — сумма кредита
n — количество АП — равных платежей, Процентных Периодов (ПП)
p — Процентная Ставка (ПС) (в долях) за 1 ПП (если p = 1%, то доля = 0,01)
k — номер платежа
Dk — долг после k-платежа
Dn = 0, т.к. заемщик после n-платежей полностью рассчитается по кредиту
а — размер ОАП

Применим вспомогательный коэффициент — q

q = 1 + p, где
р — ПС (в долях) за ПП

С каждым последующим АП остаток долга, на который начисляется процент уменьшается до нуля после последнего АП

D1 = СК + СК*p — a = СК*(1+p) — a = СК*q — a = 1*q — a = q — a

СК = 1 > D1 = СК + СК*p — a = 1 + p — a
т.е.
1 > 1 + p — a
0 > p — a
a > p = (q — 1)
Т.к. очевидно, что при ОАП = a 2 — a*q — a

D3 = D2*q — a = (q 2 — a*q — a)*q — a = q 3 — a*q 2 — a*q — a = q 3 — a*(q 2 + q + 1)

Dk = Dk-1*q — a = q k — a*(q k-1 + q k-2 + . + q + 1)

Dn = Dn-1*q — a = q n — a*(q n-1 + q n-2 + . + q + 1) = 0

q n = a*(q n-1 + q n-2 + . + q + 1)

Правая часть уравнения — сумма n-членов геометрической прогрессии
Умножим и разделим ее на (q — 1)

q n = a*(q n-1 + q n-2 + . + q + 1)*(q — 1)/(q -1)

q n = a*(q n — q n-1 + q n-1 — q n-2 + q n-2 . — q + q — 1)/(q — 1)

q n = a*(q n — 1)/(q — 1)

a = (q — 1)*q n /(q n — 1) = (q — 1)*(q n — 1 + 1)/(q n — 1) = (q — 1)*[1 + 1/(q n — 1)] = (q — 1) + (q — 1)/(q n — 1]

a = (q — 1)*q n /(q n — 1)

Если разделим числитель и знаменатель на q n , то

a = [(q — 1)*q n /q n ]/[(q n — 1)/q n ] = (q — 1)/(1 — 1/q n ) = (q — 1)/(1 — q -n )

Зная, что q = 1 + p или p = q -1, получаем следующие Формулы расчета ОАП

Формулы расчета ОАП

1 (q — 1) + (q — 1)/(q n — 1] 1a p + p/[(1 + p) n — 1]
2 (q — 1)/(1 — 1/q n ) 2a p/[1 — 1/(1 + p) n ]
3 (q — 1)/(1 — q -n ) 3a p/[1 — (1 + p) -n ]

ПРИМЕЧАНИЕ 1:

ПРИМЕЧАНИЕ 2

Формулы расчета Аннуитетного Платежа

(3а): — ОАП = p/[1 — (1 + p) -n ]

ААП = СК*ОАП = СК*p/[1 — (1 + p) -n ]

ОАП и ААП — относительный и абсолютный АП
СК — сумма кредита
p — ПС (в долях) за ПП (если p = 1,2%, то доля = 0,012)
n — количество АП или ПП или приводимые на сайтах

Формулы расчета Ежемесячного Аннуитетного Платежа

(3а): — ОАП = p/12/[1 — (1 + p/12) -n ]

ААП = СК*ОАП = СК*p/12/[1 — (1 + p/12) -n ]

ОАП и ААП — относительный и абсолютный АП
СК — сумма кредита
p — ПС (в долях) за год (если p = 12%, то доля = 0,12)
p/12 — ПС за месяц — ПП
n — количество АП или ПП Сумма ОАП: Соап = n*ОАП

Примеры расчета АП

1. СК — 1 млн. руб; ПС — 15%/год = 1,25%/мес = 0,0125; срок — 30 лет — 360 АП или ПП

ОАП = a = p + p/[(1 + p) n — 1] = 0,0125 + 0,0125/[(1 + 0,0125) 360 — 1] = 0,012644 = 1,264%/мес от СК
ААП = СК*ОАП = 1000000 * 0,012644 =12644 руб = 12,64 тр/мес
Соап = n*ОАП = 360*1,264% = 455% от СК

2. Тот же кредит в Постоянных Рублях (ПР)
Рублевой ПС — 15%/год при Спорном Инфляционном Прогнозе — 12%/год соответствует ПС в ПР — 2,678%/год (1,15/1,12 = 1,02679; = 2,678%)
СК — 1 млн. ПР; ПС в ПР — 2,678%/год = 0,223%/мес = 0,00223; срок — 30 лет — 360 АП или ПП

ОАП = a = p + p/[(1 + p) n — 1] = 0,00223 + 0,00223/[(1 + 0,00223) 360 — 1] = 0,004045 = 0,4045%/мес от СК
ААП = СК*ОАП = 1000000 * 0,004045 = 4045 ПР = 4,04 тПР/мес
Соап = n*ОАП = 360*0,4045% = 145,6% от СК

ПР — индекс цен, инфляционный показатель. Курс ПР измеряется в рублях и изменяется в соответствии с ростом цен. Если цены за некоторый период возрастают в 2 раза, то и курс ПР возрастет в 2 раза. Оплата в рублях по курсу ПР на день выплаты.

Применение ПР позволит заемщикам взять в разы больший кредит (в приведенном примере в 3,125 раза больше), т.е. на многие годы раньше решить жилищную проблему. Заемщик начинает оплачивать свое, а не чужое нанимаемое дорожающее жилье. Платить придется по растущему курсу ПР, но игра стоит свеч. При досрочном погашении можно рассчитаться значительно быстрее чем за 30 лет.

ПР решает проблему Спорного Инфляционного Прогноза. Вкладчики получают возможность реального сохранения и приумножения покупательной способности сбережений. Заемщики получают более доступные кредиты. Прибыли банков также возрастут, т.к. повысится доверие вкладчиков, существенно возрастут объемы и количество размещенных вкладов и выданных кредитов.

ТЕМЫ ПОСТОЯННОГО РУБЛЯ

САМАЯ ВАЖНАЯ ТЕМА: Без налоговой реформы не будет ни существенного роста экономики и уровня жизни, ни нового жилья, ни решения жилищной проблемы.
Сравнение действующей и предлагаемой налоговых систем. Как удвоить ВВП, избавившись от Паразитных Инфляционных Налогов. Налоговая реформа (16 kb)

ИПОТЕКА

  • По настоящему ипотека начнет работать только тогда, когда появится переизбыток вновь вводимого жилья. Или.
    Гиперинфляция, дефолт и коррупция — оборотные стороны дотационной ипотеки (11 kb)
  • Читайте также:  Меняются ли реквизиты при замене банковской карты

    Вывод формулы аннуитета

    Применение ПР позволит заемщикам взять в разы больший кредит (в приведенном примере в 3,125 раза больше), т.е. на многие годы раньше решить жилищную проблему. Заемщик начинает оплачивать свое, а не чужое нанимаемое дорожающее жилье. Платить придется по растущему курсу ПР, но игра стоит свеч. При досрочном погашении можно рассчитаться значительно быстрее чем за 30 лет.

    Исходные данные, обозначения и сокращения:
    CК = 1 — сумма кредита
    n — количество АП — равных платежей, Процентных Периодов (ПП)
    p — Процентная Ставка (ПС) (в долях) за 1 ПП (если p = 1%, то доля = 0,01)
    k — номер платежа
    Dk — долг после k-платежа
    Dn = 0, т.к. заемщик после n-платежей полностью рассчитается по кредиту
    а — размер ОАП

    Аннуитет — это что такое? Методы и формулы расчета стоимости аннуитета

    • Pl – представляет непосредственно сам аннуитетный платеж.
    • S – общая сумма кредитных средств.
    • Pr – используемая по кредиту процентная ставка или коэффициент аннуитета.
    • N – общее число периодов, в течение которых будет производиться погашение (чаще всего используются месяцы).

    На сегодняшний день лишь малая часть российских банков предпочитает использовать другую схему погашения займов. Использование метода аннуитета позволяет банку получать гарантированную прибыль. Связано это с тем, что аннуитетный график построен таким образом, что банку сначала возвращаются проценты за использование кредитных средств, и лишь потом происходит выплата кредитного тела, то есть суммы основного долга.

    Аннуитетные платежи — что это? Описание и формула расчета аннуитета

    Клиент в состоянии самостоятельно рассчитать, сколько денег он может вернуть. Для этого нужно вычесть из суммы всех начисленных процентов ту часть, которая приходится на месяцы до реального погашения. Эти данные можно найти в графике платежей, который прилагается к договору. При длительном сроке кредита цифра может быть внушительной.

    Сегодня один человек может оформить на себя 5-6 кредитов с аннуитетной схемой погашения. Такая форма расчетов получила большое социальное значение. Но она опасна как для клиентов, которые оформили на себя непомерное количество займов, так и для банков, которые детально не изучили финансовое состояние заемщика.

    Формула расчета аннуитета

    При заключении договора клиент берёт на себя обязательства своевременно делать платежи в срок, установленный банком. Ему необходимо погашать основную задолженность, а также выплачивать начисляемые проценты. Чаще всего выбирается форма аннуитетного платежа, которая обладает своими особенностями.

    В момент оформления кредита используется специальная формула аннуитета для составление графика всех выплат, а также для определения общей суммы процентов и задолженности в конкретный момент времени. Она будет рассмотрена ниже. Банки и различные финансовые организации чаще предлагают варианты аннуитетные формы расчёта. Такой вариант приносит больше прибыли по процентам.

    МСФО, Дипифр

    Наращение – это движение из сегодняшнего дня в завтрашний: расчет будущей стоимости тех денег, которые у вас есть сегодня. Если вы положите деньги на банковский счет, то, зная банковскую ставку, вы сможете рассчитать, сколько денег у вас накопится на счете в любой момент времени в будущем.

    В данной статье рассматриваются примеры расчета простых аннуитетов, в которых период платежа и период начисления процентов равны друг другу. То есть если проценты начисляются, например, за год, то и выплаты будут ежегодными. Или проценты начисляются ежемесячно, и платежи тоже осуществляются ежемесячно. Существуют аннуитеты, в которых эти периоды не совпадают (периоды выплат и периоды начисления процентов), но это более сложные вычисления. Я не буду их затрагивать. Всем, кто хочет разобрать эту тему досконально, лучше обращаться к учебникам по финансовой математике.

    Формула аннуитетного платежа, расчет платежа

    Другой способ погашения кредита — это дифференцированный платёж, то есть выплата процентов на оставшуюся задолженность. При дифференцированных платежах ваша сумма ежемесячных выплат будет уменьшаться к концу срока кредита, поскольку вы будете выплачивать проценты за кредит на оставшуюся сумму задолженности. Например, погасив 80% кредита, вы будете платить проценты за оставшуюся сумму (20%).

    Когда вы берёте в банке кредит, вы обязуетесь в течение определённого срока выплачивать сумму взятого кредита и процентов по нему. Существует несколько способов погашения кредита, распространённый способ — это аннуитетные платежи. В этой статье мы рассмотрим, что такое аннуитетные платежи, узнаем формулу аннуитетного платежа и проведём расчёт.

    Формула и расчет аннуитета

    1. Определение длительности в днях каждого из месяцев погашения с учетом даты выдачи и даты полного погашения кредита. В нашем примере эти данные уже рассчитаны и представлены в таблице (столбец «Число дней пользования кредитом за указанный месяц»).
    2. Для каждого из месяцев, начиная с первого месяца погашения основного долга, рассчитаем, используя длительность данного месяца погашения, коэффициент по формуле: 1 / (1 + Дневная процентная ставка х Число дней пользования за данный месяц).В результате мы рассчитали коэффициент приведения стоимости, взятой на конец месяца, к началу данного месяца.
    3. Для каждого из месяцев, начиная с первого месяца погашения основного долга, производим расчет «множителя при аннуитетном платеже» как произведение всех коэффициентов приведения (рассчитываются на шаге 2), начиная от коэффициента приведения для первого месяца погашения основного долга и заканчивая коэффициентом для данного месяца. При этом для первого месяца погашения основного долга множитель при аннуитетном платеже равен коэффициенту приведения, вычисленному на шаге 2.Вычислив данные множители, получаем возможность привести стоимость, взятую на конец любого из месяцев погашения (а это и есть сумма нашего аннуитетного платежа), к началу первого месяца, за который производится погашение основного долга по кредиту. Поскольку в расчете графика погашения используется установление сезонных платежей, необходимо определить множители при сезонных платежах (равны значению множителя при членах ренты соответствующего месяца) и вычислить приведенную (дисконтированную) стоимость каждого сезонного взноса как произведение суммы сезонного платежа и множителя при соответствующем сезонном платеже. ополнительно вычислена сумма по столбцам «Множитель при аннуитетном платеже», «Множитель при сезонном платеже» и «Дисконтированный сезонный платеж». Эти данные понадобятся при расчете аннуитетного платежа.
      • Вычислим, имея все данные, аннуитетный платеж, определяемый по формуле:Сумма кредита – сумма (Дисконтированный сезонный платеж) / сумма (Множитель при аннуитетном платеже) – сумма (Множитель при сезонном платеже)
      Читайте также:  Аксон банк иваново график

      Расчет графика начиная от фактического календарного дня выдачи кредита. На практике работа по выдаче кредитов осуществляется непрерывно на протяжении всего календарного месяца. Однако схема погашения кредита, которая использовалась в статье до этого, отражает лишь ситуацию, когда кредит выдан строго первого числа календарного месяца.

      Вывод формулы аннуитета

      Примечание. При Тип=1 (начисление процентов в начале периода), баланс на конец последнего периода не равен БС (как при Тип=0), т.к. учитывается начисление процентов на следующий день после окончания последнего периода! Т.е. к балансу на конец последнего периода прибавляется величина =БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип])*ставка

      1. Т.к. платеж вносится в конце периода, то в 1-й период проценты не начисляются (банк не использовал взнос). Баланс на конец периода =ПЛТ (взнос также сделан в конце периода).
      2. В конце 2-го периода проценты начисляются на величину ПЛТ (на взнос, который был сделан в 1-м периоде). Баланс на конец 2-го периода =ПЛТ+ ПЛТ*ставка+ПЛТ= ПЛТ+ПЛТ*(1+ставка).
      3. В конце 3-го периода проценты начисляются на величину ПЛТ+ ПЛТ *(1+ставка), т.е. на баланс начала 3-го периода (или на баланс конца 2-го периода, что естественно, то же самое). Баланс на конец 3-го периода = (ПЛТ+ ПЛТ *(1+ставка))*ставка+ (ПЛТ+ ПЛТ *(1+ставка))+ПЛТ=(ПЛТ+ ПЛТ *(1+ставка))*( 1+ставка) + ПЛТ= ПЛТ *(1+ставка)^2+ ПЛТ *(1+ставка)+ПЛТ.
      4. Очевидно, что баланс в конце последнего периода (кпер)= ПЛТ *(1+ставка)^(кпер-1)+ ПЛТ *(1+ставка)^ (кпер -2)+… +ПЛТ *(1+ставка)^2+ ПЛТ *(1+ставка)+ПЛТ. Заметим, что ПЛТ = ПЛТ *(1+ставка)^0
      5. Формула, полученная на предыдущем шаге, является суммой членов геометрической прогрессии и одновременно =БС: первый член геометрической прогрессии =ПЛТ, знаменатель =(1+ставка). Т.е. БС=ПЛТ*(1-(1+ставка)^ кпер)/(1-(1+ставка))= ПЛТ*(((1+ставка)^ кпер)-1)/ставка. Полученное уравнение с точностью до знака совпадает со вторым слагаемым формулы для вычисления БС (при Тип=0).

      Вывод формулы аннуитета

      В примерах выше разобраны абстрактные примеры аннуитетов. Однако с аннуитетными денежными потоками встречаемся и в реальной жизни. К примеру, интересно будет рассчитать, сколько получится накопить на сберегательном счете, когда откладывать каждый месяц часть зарплаты. Так же можно будет рассчитать, например, дисконтированную стоимость платежей по автокредиту. Выплаты банку при приобретении автомобиля (и не только автомобиля) в кредит являют собой аннуитет. Его дисконтированная (приведенная к сегодня) стоимость — это и будет стоимость покупаемого автомобиля. Можно узнать точно, сколько переплачиваете при покупке в кредит машины по сравнению с вариантом покупки с оплатой полной суммы сразу. А также можно будет сравнивать кредитные предложения различных банков. Единственная проблема в данных расчетах – выбрать правильную месячную ставку дисконтирования.

      Рассмотрим, более детально, ч то значит аннуитет. Аннуите́т или финансовая рента — общий термин, который описывает график погашения финансового инструмента (уплаты части основного долга или выплаты вознаграждения и процентов по нему), когда выплаты периодически устанавливаются равными суммами через одинаковые промежутки времени. Аннуитетный график является сложным. Он отличен от такого графика погашения, при котором выплата полной причитающейся суммы проходит в конце срока действия инструмента, или графика, при котором на периодическом основании выплачивают лишь проценты, а всю сумму основного долга необходимо оплатить в конце.

      Расчет аннуитетных платежей: формула, использование Excel

      Есть еще способ погашения кредита посредством дифференцированных платежей. Выбирая такой вариант погашения ежемесячная сумма, вносимая в пользу банка, будет каждый месяц разной и будет постоянно уменьшаться, так как сокращается сумма процентов на остаток долга. Смотрите также статью о дифференцированном способе погашения.

      Чтобы не утруждать себя расчетами вручную, попробуйте сделать это при помощи таблицы Excel. Там есть специальная функция под названием ПЛТ. Для расчетов следует создать новую таблицу и ввести строку в любой ячейке. Если вам выдали кредит в сумме 30000 руб., под 18% годовых на 36 месяцев, необходимо ввести в ячейку вот такое выражение.

      Пример расчета аннуитетного платежа (расчеты лучше производить в Microsoft Excel).

      Условие: сумма кредита — 1 000 000 рублей, срок — три года (36 месяцев), ставка — 20%. Погашение осуществляется аннуитетными платежами.

      Читайте также:  Что учитывается при расчете декретных

      1. Процентная ставка по кредиту в месяц = годовая процентная ставка / 12 месяцев 20%/12 месяцев/100=0,017.

      2. Коэффициент аннуитета = (0,017*(1+0,017)^36/((1+0,017)^36—1)=0,037184.

      3. Ежемесячный аннуитетный платеж = 0,037184*1 000 000 рублей = 37 184 рубля.

      4. Итого переплата по кредиту составила 338 623 рублей.

      При погашении данного кредита дифференцированными платежами сумма уплаченных процентов по нему составила бы 308 333,33 рубля.

      Комментарии 11

      20%/12 месяцев/100=0,016.
      2. Коэффициент аннуитета = 0,016*(1+0,016)36/(1+0,016)36—1=0,03676.

      Что касается формулы, то в ней опущена половина знаков.
      Следует читать как:
      1) 20%/12 месяцев/100=0,017, по правилам округления

      Евгений (Омский Огородник) пишет:
      .
      Еще не понятно, куда я веду? Вообще-то все мои знакомые предприниматели сразу "прочухали" фишку. Банки, я думаю, тоже эту фишку понимают и, тем не менее, с умным видом обосновывают свои чумовые процентные ставки всяким там инфляциями, ставками ЦБ, своей низкой прибыльностью и еще всякой прочей ерундой.
      .

      Сергей (m*******@mail.ru) пишет:
      Исправьте формулу она вообще не верная.
      Должно быть так:
      (0,016*(1+0,016)^36)/((1+0,016)^36—1)

      Ошибка уже в пункте 1, а именно, годовая процентная ставка в 12 % это не то же самое, что 1% в месяц.
      Почему так?
      Представьте себе, что вы кладёте 1000000 рублей в банк под 12% годовых и банк вам начисляет по 1% каждый месяц:
      после 1-го месяца: на вашем счёте 1010000 рублей
      после 2-го месяца: на вашем счёте 1020100 рублей
      после 3-го месяца: на вашем счёте 1030301 рублей
      после 4-го месяца: на вашем счёте 1040604.01 рублей

      уже видно, что если бы проценты просто складывались, то после 4-го месяца у вас должно было бы быть 1040000 рублей, вместо этого у вас появились дополнительные 604 рубля 1 копейка. На них тоже капает процент и по итогам года вы получите не 12% годовых, а 12,68 % годовых.

      Поэтому, чтоб посчитать процент за месяц, нужно делать так:
      процент за год = X
      доля за год = X/100
      годовой коэфф-т умножения вклада = 1+X/100
      месячный коэфф-т умножения вклада = root12(1+X/100)
      где root12 это корень 12-ой степени
      месячная доля = root12(1+X/100) — 1
      месячный процент = (root12(1+X/100)-1)*100

      20%/12 месяцев/100=0,016.
      2. Коэффициент аннуитета = 0,016*(1+0,016)36/(1+0,016)36—1=0,03676.

      Что касается формулы, то в ней опущена половина знаков.
      Следует читать как:
      1) 20%/12 месяцев/100=0,017, по правилам округления

      Евгений (Омский Огородник) пишет:
      Еще не понятно, куда я веду? Вообще-то все мои знакомые предприниматели сразу "прочухали" фишку. Банки, я думаю, тоже эту фишку понимают и, тем не менее, с умным видом обосновывают свои чумовые процентные ставки всяким там инфляциями, ставками ЦБ, своей низкой прибыльностью и еще всякой прочей ерундой. А мы все им верим и платим за кредит даже не те заявленные сумасшедшие 15…20…30%, а гораздо больше..

      Я, кстати, тоже не поняла. Просто потому, что "выводов" по этим данным может быть "стопятьсот", в зависимости от фантазии и додумок. И формулу сложных процентов смотрела. Хотя тут надо еще посмотреть формулу с дисконтированием денежных потоков — она правильнее отражает ситуацию с "откладыванием".
      Например, Евгений может предлагать проценты платить раз в год, но суммы класть на депозит под проценты. И в итоге в конце года немного навариться. Да, так можно, наверное. У банка же много денег, ну дал кому — то 3 ляма, вывел из своего оборота, а мог директору квартиру купить . Но давайте с зарплатой так же поступим — работайте сейчас, а зарплату раз в год. Зато сколько много сразу .
      Это лишь один из вариантов.

      Евгений (Омский Огородник) пишет:
      Теперь вопрос: что изменится, если вы будете погашать ежемесячно основной долг (в соответствии с красивой формулой), а проценты будете откладывать, скажем, на депозит и выплатите их банку один раз в год?
      Поясняю: по логике банковского кредита и по "красивой" формуле вы делаете всё правильно — погашаете кредит ежемесячно частями и платите процент точно за ту сумму, которую должны банку в каждом месяце.
      Еще не понятно, куда я веду? Вообще-то все мои знакомые предприниматели сразу "прочухали" фишку.

      Нет не понятно. Не понятно зачем откладывать средства на начисленные проценты на депозит не выплачивая их сразу банку.
      Да, вы получите на них процент. Сложный. И за год он будет выше чем ставка банка по вкладу.
      Но и невыплаченные проценты по кредиту увеличат ваш долг (Точнее не уменьшат его настолько насколько могли бы его уменьшить). На недовыплаченую сумму каждый последующий месяц будут начисляться проценты. Как и на основной долг. По сути, тоже "сложный" процент. Только он будет по гораздо большей ставке — по ставке кредита, а не по ставке депозита. Таким образом выгодой от депозита вы не перекроете начисленные проценты за неоплачиваемую каждый месяц часть долга по кредиту. А наоборот потеряете на разнице процентов между ставками по кредиту и депозиту.
      Если чтото не так — поясните подробнее вашу мысль. Желательно с расчетами.

      Ссылка на основную публикацию
      Adblock detector